Annexe D (informative)  Méthode analytique pour le calcul des températures

D.1  Principe de la méthode

Dans le cas d'un problème bidimensionnel, la température θ au point de coordonnée x et y est donnée par la transmission de la chaleur par conduction à l'intérieur d'un solide en régime variable par l'équation de Fourier.

avec :

  • cp : chaleur spécifique ;

  • λ : conductivité thermique ;

  • θ : température au point de coordonnée x, y ;

  • t : temps ;

  • ρ : masse volumique.

La façon la plus classique de transformer cette équation consiste à la transformer en différences finies par un découpage de l'espace en rectangles élémentaires adjacents et par un découpage du temps en intervalles élémentaires successifs.

D.1.1  Découpage de l'espace

L'espace envisagé concerne un grand rectangle composé de c*l rectangles élémentaires obtenu par un quadrillage basé sur c colonnes de largueur Δx(i) et l lignes de hauteur Δy(j) (i variant de 1 à c et j variant de 1 à l).

Chaque rectangle appartient soit à l'ambiance chaude, soit à l'ambiance froide, soit au solide étudié y compris les vides internes. L'ambiance chaude est ainsi limitée par la surface chaude du solide. L'ambiance froide est en contact du solide par la surface froide.

D.1.2  Découpage du temps et températures

Le temps est découpé en intervalles successifs égaux, Δt, exprimés en heures, ce qui fait apparaître une suite de temps t(k) = k × Δt.

On admet que toutes les caractéristiques physiques de la matière et de l'ambiance froide restent constantes durant un intervalle Δt en conservant la valeur que l'on a calculé au début de cet intervalle.

On a donc au centre de chaque rectangle de solide une température θk(i,j), on a également une température moyenne de la surface exposée (surface chaude) θk,mc, une température moyenne de la surface non exposée (surface froide) θk,mf. Les transferts de chaleur durant l'intervalle de temps Δt feront qu'à la fin de cet intervalle, les caractéristiques physiques seront modifiées.

L'ambiance froide est supposée maintenue, quelque soit le temps, à la température θ0 choisie au départ (θ0 = 20°C) selon l'article 3.2 de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA).

L'ambiance chaude a une température θk qui évolue avec le temps tk (en heure) selon l'article 3.2 de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA).

D.1.3  Description de l'hétérogénéité de l'espace

Conformément à 3.1 (5) de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA), la surface non exposée (l'ambiance froide) est caractérisée par un coefficient de transfert thermique global (convection + rayonnement) : αnet,sne = 9 W/m².°K

NOTE

Il est possible de désigner un coefficient d'échange thermique global αnet,sne en sommant le coefficient d'échange convectif et le coefficient d'échange radiatif comme défini à l'article 3.1 (5) de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA).

Conformément à l'article 3.2 de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA), la surface exposée (l'ambiance chaude) est caractérisée par son coefficient de transfert thermique global :

où :

  • θr est la température de rayonnement effectif de l'environnement du feu (°C) ;

  • θm est la température de surface de l'élément (°C) ;

  • Φ est le facteur de forme ;

  • εm est l'émissivité de la surface de l'élément ;

  • εf est l'émissivité du feu ;

  • σ est la constante de Stéphan-Boltzmann (= 5,67.10-8 W/m² K4).

Les valeurs de εm et εf sont déterminées conformément à l'article 3.1 (6) de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA).

La valeur de Φ est déterminée conformément à l'article 3.1(7) de la norme NF EN 1991-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1991-1-2/NA).

Chacun des rectangles de matière est caractérisé par les paramètres suivants :

  • chaleur spécifique cp ;

  • masse volumique ρ ;

  • conductivité thermique λc.

Ces paramètres évoluent de façon différente en fonction de la température θk(i,j) au centre du rectangle.

  1. Chaleur spécifique cp

    La variation de la chaleur spécifique cp en fonction de la température θk(i,j), cp [θk(i,j)], est définie en 3.3.2 (1) et 3.3.2 (2) de la norme NF EN 1992-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1992-1-2/NA), soit :

    • Dans le cas de béton sec ( u = 0 % ) de granulats siliceux et calcaires :

    • Dans le cas de béton de granulats siliceux et calcaires où la teneur en eau n'est pas explicitement prise en compte dans la méthode de calcul (u ≠ 0 % ) :

      • cp,peak = 900 J / kg°K pour une teneur en eau de 0 % du poids du béton

      • cp,peak = 1470 J / kg°K pour une teneur en eau de 1,5 % du poids du béton

      • cp,peak = 2020 J / kg°K pour une teneur en eau de 3 % du poids du béton

      pour d'autres teneurs en eau une interpolation linéaire est acceptable.

  2. Masse volumique ρ

    La variation de la masse volumique ρ en fonction de la température θk(i,j), ρ [θk(i,j)], est définie à l'article 3.3.2 (3) de la norme NF EN 1992-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1992-1-2/NA), soit :

  3. Conductivité thermique λc

    Les limites supérieure et inférieure de la conductivité thermique λc en fonction de la température θk(i,j), λc [θk(i,j)], sont définies à l'article 3.3.3 de la norme NF EN 1992-1-2 avec son annexe nationale française (NF EN 1992-1-2/NA), soit :

    Les rectangles de vide entourés de matière sont constitués par de l'air et on admet que les échanges entre rectangle d'air et rectangle d'air ou rectangle de matière se font par convection avec les coefficients suivants :

    • αnet,c = 25 W / m².°K pour la convection

    • cm = 1130 J / m³ d'air pour la chaleur massique

D.1.4  Transferts de chaleur

Faisons le bilan thermique des flux reçus par le rectangle élémentaire [i, j] durant l'intervalle de temps Δt, le long de ses quatre facettes que nous désignerons par les quatre lettres cardinales.

Figure D.1  Discrétisation de la section pour le bilan thermique

  1. Le rectangle i,j est dans la matière :

  2. Le rectangle i,j est dans un vide interne :

    • Si le rectangle W est dans la matière

    • Si le rectangle W est dans un vide interne

      Le flux total Φtotal reçu a pour valeur : Φtotal = ΦW + ΦE + ΦN + ΦS.

D.1.5  Température des surfaces chaudes et froides

Il faut procéder à la fin de tout intervalle de temps au réajustement des paramètres physiques, ce qui oblige en particulier à calculer les températures de surface de chaque rectangle en contact avec l'ambiance. Nous écrirons les formules pour un rectangle en contact par sa facette W avec l'ambiance chaude ou l'ambiance froide, les autres cas s'en déduisant par la logique des appellations.

Les températures moyennes des surfaces, non exposée et exposée, s'obtiennent par pondération des températures de surface correspondante à l'aide des longueurs des côtés des rectangles concernés. On calcule également la température maximale de surface non exposée.

D.2  Critère de convergence

La méthode exposée revient à la résolution explicite de l'équation de Fourier par la méthode des différences finies. On sait alors qu'il faut respecter certaines conditions de découpage dans l'espace et le temps si l'on veut que les résultats numériques soient acceptables.

Le critère de convergence dans la matière peut s'écrire :

Si l'on envisage les vides internes, la transposition du critère de convergence devient :