Annexe C (normative) Évaluation des déformations et des sollicitations

C.1 Liste des principales variables

d : distance d'une charge au joint, ou au sommet de l'angle mesuré suivant la bissectrice

D_eq : diamètre d'impact équivalent

E_s : module de Young d'un sol

E_sj : module de Young de la couche de sol d'indice j pour le cas de charge considéré

E_c : module de déformation du béton

E_cv : module de déformation du béton sous sollicitation de longue durée (module différé)

E_ci : module de déformation du béton sous sollicitation de courte durée (module instantané)

f_ck : résistance caractéristique du béton à la compression

f_ctk, : résistance caractéristique du béton à la traction

f_yk : limite caractéristique d'élasticité de l'armature

H : épaisseur du dallage

K_Deq : module de réaction conventionnel du support sur la surface de diamètre D_eq

L_sa : longueur effective de soulèvement en angle sous retrait différentiel seul

L_sb : largeur effective de soulèvement en bordure sous retrait différentiel seul

M : moment par unité de longueur

M_t : moment tangentiel par unité de longueur

M_r : moment radial par unité de longueur

p : poids du dallage par unité de surface

q : charge uniformément répartie par unité de surface

q₀ : charge moyenne d'exploitation répartie par unité de surface

Q : charge concentrée

Q_e : charge concentrée équivalente utilisée pour la commodité des formules

Q_s : charge annulant le soulèvement dû au retrait différentiel

V : effort tranchant au droit d'un joint

γ : poids volumique du matériau constituant le dallage

ω : coefficient de transmission des actions d'une dalle à la dalle adjacente

ε_r : retrait total du béton (4 · 10^-4 dans les conditions courantes)

ε_r' : retrait affecté de l'indice de la dimension des granulats

ε_r“ : retrait affecté de l'incidence du retrait differentiel et du gradient thermique

σ : contrainte

ν_s : coefficient de Poisson du sol. Les coefficients d'influence déterminés au Tableau C.4 sont basés sur un coefficient de Poisson égal à 0,35

μ : coefficient de frottement dallage/support

w : tassement sous charge

C.2 Dispositions générales

À défaut d'une méthode plus rigoureuse, éprouvée et scientifiquement justifiée, et en prenant en compte la déformabilité des différentes couches de sol sous-jacentes, jusqu'à la profondeur où la déformation du substratum est négligeable, pour les charges et tolérances considérées, les moyens définis dans la présente Annexe sont utilisés.

C.3 Déformations d'un dallage

Le principe de leurs évaluations repose sur l'égalité entre les tassements du support, dus aux pressions exercées par le dallage et les déformations du dallage, sous l'effet des charges et des réactions du support.

La déformation du support est évaluée par application des formules de Boussinesq.

Celle du dallage, découle de l'application des équations de Lagrange.

Les déformations du dallage résultent de la conjugaison des effets :

de l'ensemble des charges d'exploitation (tassements localisés et propagés) ;
des retraits linéaires ;
des retraits différentiels, générant des soulèvements en bordure des joints ;
des gradients thermiques, affectant le dallage ;
des comportements du support, non liés à ses sollicitations (gonflements, dessiccations) ;
des tassements des fondations de structures et massifs.

La détermination des tassements absolus et différentiels du dallage, dus aux fondations de structures et socles, ne fait pas partie du présent document. Inévitables, peu dépendants des caractéristiques du dallage, ils sont exclus des tolérances de déformations qui y sont édictées.

NOTE 1

L'attention est attirée sur ces tassements localisés, pouvant atteindre plusieurs centimètres pour les structures lourdes et sur les points durs que peuvent constituer les fondations ou autres ouvrages enterrés. La réalisation de joints aux alentours de ces points singuliers atténue les risques de fissuration du dallage.

NOTE 2

Les risques liés au gonflement, à la dessiccation, aux migrations d'eau, doivent être mentionnés dans le rapport géotechnique d'étude des sols, qui préconise les mesures à prendre (substitutions, etc.).

Les déformations d'un dallage peuvent être calculées en faisant la somme de celles déterminées dans le cas d'un dallage supposé continu, provoquées par le support et de celles, complémentaires et localisées, dues à la présence des joints.

C.3.1 Déformations d'un dallage supposé continu

C.3.1.1 Tassement dû à une charge concentrée en partie courante

La méthode d'évaluation proposée repose sur deux notions :

le diamètre d'impact équivalent, noté D_eq, égal à celui d'une zone de support circulaire souple qui, soumise à l'application directe d'une charge uniformément répartie, subit en son centre un tassement identique à celui provoqué sur le dallage, par une charge concentrée d'intensité égale à la résultante de cette charge répartie ;
le module conventionnel de réaction du support, noté K_Deq, égal au rapport entre la pression uniformément répartie q sur la zone de support de diamètre D_eq et le tassement en son centre.

De ces définitions, résulte le tassement sous une charge concentrée Q en partie courante :

Le tassement d'une plaque infinie sur sol élastique, à l'aplomb de l'impact d'une charge concentrée Q, est donné par la relation suivante, dans laquelle k est le module de réaction sol/plaque :

L'incidence mineure du coefficient de Poisson du béton, pouvant ici être négligée, il vient :

Par ailleurs, le tassement d'une zone de support circulaire de diamètre D, et qui est soumise à l'application directe d'une charge uniformément répartie q, a pour valeur :

Le diamètre équivalent, qui rend égaux ces deux tassements, s'exprime par :

C.3.1.1.1 Cas d'un support homogène

La constance des caractéristiques E_s et ν_s permet d'exprimer le tassement, au centre d'une zone de support de diamètre D_eq soumise à la charge répartie q, égal à :

Les valeurs suivantes résultent de la combinaison des Expressions (1) à (6), avec un coefficient de Poisson du sol νs pris égal à 0,35 :

Le tassement sous la charge concentrée Q a pour valeur :

NOTE

Le cas du support homogène est purement théorique. Il convient, en pratique, de tenir compte de toutes les couches, y compris celle constituée par un substratum peu déformable.

C.3.1.1.2 Cas général d'un support multicouche

La diversité des caractéristiques des différentes couches du support interdit tout calcul direct.

K_Deq et D_eq sont liés par l'expression :

où :

E_si est le module de Young du sol, constituant la couche i considérée ;
ν_si est le coefficient de Poisson du sol (qui peut être pris égal à 0,35) ;
I_(0,hi) et I_(0,bi) sont les coefficients d'influence à la verticale du centre de l'aire de diamètre D_eq (correspondant à x = 0) et aux profondeurs relatives z_hi/D_eq et z_bi/D_eq du haut et du bas de la couche de sol d'indice i. Ces coefficients sont calculés, en fonction de chaque profondeur exprimée avec D_eq comme unité, à partir de la première colonne (x = 0) du Tableau C.3.

En pratique, une valeur arbitraire de D_eq est choisie (exemple, D_eq = 15 · H). Par (10), K_Deq est calculé, qui est reporté dans le second membre de (5), avec itération jusqu'à convergence.

Le couple compatible (D_eq, K_Deq), ainsi obtenu, permet de calculer le tassement au droit de la charge concentrée Q, par application de la relation (1).

Les coefficients d'influence I_(x,z) (voir Tableau C.4), relatifs à un support homogène et à une zone uniformément chargée de diamètre D_eq, représentent le rapport entre :

le tassement y_(x,z) induit en un point de ce support, situé à la distance horizontale x du centre de cette zone chargée et à la profondeur z, exprimées avec D_eq pour unité ;
et celui y_(0,0), en surface du support et au centre de cette zone.

NOTE 1

L'extension de la méthode ci-avant, aux sols constitués de plusieurs couches, néglige les effets secondaires des cisaillements horizontaux entre ces dernières, lesquels se neutralisent en présence de charges réparties ou multiples sur de grandes surfaces.

NOTE 2

Le module K_Deq, fonction des caractéristiques du support et du dallage, est en général très inférieur à ceux déduits des essais à la plaque, inadaptés à la détection des médiocrités de couches situées à des profondeurs supérieures à la moitié de son diamètre.

Une charge est à considérer concentrée, si la plus grande dimension de son impact sur le dallage est inférieure à D_eq/8.

C.3.1.2 Propagation du tassement dû à une charge concentrée

C.3.1.2.1 Cas d'un support homogène

L'évolution du tassement est déduite de la première ligne du Tableau C.4 des coefficients d'influence, qui représente la propagation du tassement au droit d'une charge concentrée, dans le cas d'un support homogène.

C.3.1.2.2 Cas d'un support multicouche général

Figure C.1 Support multicouche

La présence d'un substratum indéformable atténue la propagation des tassements, mais reste fonction des caractéristiques des différentes couches du support.

Dans le cas d'un support réel, le coefficient de propagation C_P(x,0) du tassement induit au droit d'une charge concentrée en un point distant de x, exprimé avec D_eq pour unité (voir Figure C.1), est :

où :

h_i : profondeur relative du toit de la couche d'indice i, exprimée avec D_eq comme unité ;
b_i : profondeur relative de la base de cette couche, exprimée avec D_eq pour unité ;
I_(x,z) : coefficients d'influence relatifs à un support homogène.

NOTE

Les caractéristiques du dallage n'ont pas d'incidence significative sur les tassements au-delà d'une distance à la charge concentrée égale à D_eq. En deçà de cette distance, la raideur du dallage influe sur les courbures découlant des coefficients de propagation relatifs au support, qui ne peuvent être utilisés pour le calcul des contraintes.

C.3.1.3 Tassements sous charges concentrées multiples en parties courantes

En un point quelconque, le tassement, dû à plusieurs charges concentrées, est égal à la somme des tassements propagés en ce point par ces charges.

où :

w_i : tassement provoqué par la charge concentrée d'indice i au droit de cette charge ;
x_j : distance de chaque charge Q_J au point de calcul P (unité de longueur : D_eq).

NOTE 1

Les supports médiocres en profondeur amplifient les propagations de tassements et sont source de désordres sous charges multiples.

NOTE 2

L'obtention des grandeurs D_eq, K_Deq, C_P(xj,0) est immédiate, par recours à des logiciels de calculs spécialisés.

C.3.1.4 Tassements sous charge uniformément répartie sur une aire quelconque

Les tassements peuvent être calculés en assimilant la zone chargée à un ensemble de charges ponctuelles élémentaires, espacées au maximum de D_eq/8 dans les deux directions. Cette modélisation ne peut pas être utilisée pour déterminer les sollicitations.

C.3.1.5 Tassements sous charge linéaire en partie courante

Ils sont obtenus :

en assimilant la charge linéaire à une succession de charges ponctuelles ;
ou en effectuant les produits du tassement sous charge concentrée d'intensité unitaire (longueur/charge), par la charge linéaire par unité de longueur (charge/longueur) et par l'aire délimitée par la courbe des coefficients d'influence du support réel, centrée au milieu de la longueur de la charge linéaire et tronquée aux extrémités de cette dernière (cette aire est une longueur).

NOTE

Le tassement, aux extrémités d'une charge linéaire, est égal à la moitié de celui généré au centre d'une charge linéaire de longueur double. Cette observation permet le calcul du tassement en un point quelconque, par cumul de ceux obtenus, en considérant successivement les charges qui lui sont situées de part et d'autre.

C.3.2 Déformations complémentaires liées à la présence des joints

C.3.2.1 Phénomènes généraux affectant les dallages

C.3.2.1.1 Retrait linéaire

Le retrait linéaire est parfois différé par la présence de condensations en sous face du dallage.

NOTE 1

Le retrait théorique à prendre en compte dans les calculs est de ε_r = 0,4 mm/m. Cette valeur, utilisée uniquement pour calculer les longueurs de soulévement en angle et en bord, n'est pas à comparer avec le retrait final de l'ouvrage exécuté (selon la NF EN 1992-1-1 et son Annexe Nationale).

NOTE 2

L'ouverture maximale possible d'un joint est égale au produit du retrait final, par la distance entre joints traversants.

NOTE 3

Pour une même composition de pâte, le retrait augmente lorsque la dimension des granulats diminue ; si le diamètre nominal D_max du plus gros granulat est inférieur à 25 mm, la valeur du retrait doit être majorée suivant le Tableau C.1.

Tableau C.1 Évolution du retrait en fonction du diamètre nominal des granulats

NOTE 4

Le Tableau C.2 mentionne l'évolution moyenne du retrait ε_r' (en pourcentage du retrait total ε_r) pour une hygrométrie ambiante de 65 % et une hygrométrie supposée saturée en sous-face.

Tableau C.2 Évolution du retrait suivant l'âge et l'épaisseur du dallage

C.3.2.1.2 Variations de température

Les écarts de température, à considérer pour les calculs, sont :

pour les dallages sous abris, la moitié des écarts relatifs à l'air ambiant ;
pour les dallages extérieurs, l'écart sous abri majoré de + 30 °C en raison de l'ensoleillement.

Le coefficient de dilatation du béton est pris égal à 10^-5/°C.

C.3.2.1.3 Effets conjugués du retrait linéaire et d'une variation de température

Les incidences, des variations de température sur les contraintes, peuvent être négligées dans le cas des dallages sous abri, où les retraits sont supérieurs aux dilatations.

Dans les autres cas, les dallages doivent faire l'objet d'études particulières (par exemple, dallages chauffants, fonderies, chambres froides, etc.).

C.3.2.1.4 Retrait différentiel

Les différences d'hygrométrie, entre la surface et la sous face du dallage, provoquent des retraits différentiels tendant à générer des courbures de rayon H / (0,9 · ε_r), ε_r étant le retrait total du béton.

Il en découle des soulèvements aux angles et le long des bordures, qui passent par un maximum, lorsque l'âge du béton, exprimé en jours, est voisin de 1,8 · H², H étant exprimée en cm.

NOTE 1

Le retrait différentiel ε_r' d'une dalle ou d'une chape adhérente d'épaisseur e est voisin de :

ε_r' = ε_r · [1 + 1/(1 + (0,15 · H/e))]

NOTE 2

La sous-face d'un dallage est souvent sujette à des condensations, qui en retardent le retrait et accentuent le retrait différentiel entre les faces supérieure et inférieure du dallage.

NOTE 3

Les effets du retrait différentiel affectent tous les types de joints, conjugués ou non (la raideur des goujons est insuffisante pour s'y opposer significativement).

NOTE 4

Lorsqu'une charge appliquée sur le dallage dépasse la valeur annulant le soulèvement en angle ou en bordure, le calcul des déformations (et des sollicitations) comporte les deux phases suivantes :

de détermination de la charge annulant le soulèvement ;
de calcul des effets complémentaires sous une charge égale à la différence entre la charge totale appliquée et la charge annulant le soulèvement.

NOTE 5

Les déformations du dallage comportent les soulèvements liés au retrait différentiel et les tassements découlant des charges subies, y compris toutes incidences des proximités des charges et des joints (le retrait différentiel n'a pas d'incidence sur les tassements en partie courante des dalles).

NOTE 6

Les déformations ci-avant, s'ajoutent à celles générales sous charges multiples.

C.3.2.1.5 Gradient thermique dans le dallage

Le gradient de température, entre les faces supérieure et inférieure du corps du dallage, est défini par le coefficient C, exprimé en degrés Celsius par mètre.

À défaut d'être fixé par les DPM, il est pris égal à :

pour un dallage abrité du soleil, C = 20 °C/m ;
pour un dallage non abrité, C = 70 °C/m.

EXEMPLE Pour un dallage de 20 cm d'épaisseur, Δt = C · H = 20 °C/m · 0,20 m = 4 °C, s'il est abrité, 14 °C, dans le cas contraire.

Un gradient de température agit comme un retrait différentiel égal à Δt · 10^-5, où Δt est la différence de température entre les faces inférieure et supérieure du dallage.

NOTE

Une face de dalle soumise à une variation brutale de température (grêle en particulier) subit des variations linéaires superficielles susceptibles d'amorcer des fissurations en surface.

C.3.2.1.6 Effets conjugués du retrait différentiel et d'un gradient thermique

Ils sont équivalents à ceux provoqués par un retrait ε_r″ :

ε_r″= ε_r' (retrait affecté de l'indice de la dimension des granulats) ± 1,1 · Δt · 10^-5 (effet du gradient).

Signe : + si la source chaude est en sous face du dallage (majoration des courbures), - dans le cas contraire.

C.3.2.2 Déformations complémentaires à un angle de dalle

Sont concernées, les déformations liées aux charges situées en angle de dalle, à l'intérieur du secteur de cercle de rayon égal à la longueur de soulèvement en angle L_sa, avec d_i = (x_i² + y_i²)^1/2 (Figure C.2).

Figure C.2 Déformation à un angle de dalle

C.3.2.2.1 Soulèvement sous l'effet du retrait différentiel et d'un gradient thermique

La longueur de soulèvement à l'angle, est donnée par l'expression :

où γ est le poids volumique du béton.

La flèche ascendante à l'angle d'une dalle sous l'effet du retrait différentiel et du gradient de température vaut, en l'absence de charge :

où w_sb est défini au C.3.2.3.1.

C.3.2.2.2 Charge équivalente au sommet d'un angle de dalle isolé ou non conjugué

Il est admis que l'effet complémentaire, sur les déformations des charges disposées dans la zone d'angle, est équivalent à celui provoqué par la charge équivalente Q_e disposée au sommet de l'angle :

C.3.2.2.3 Charge équivalente au sommet d'un angle de dalle non isolé conjugué

Pour déterminer la charge Q_e affectant un angle, la transmission de charge, aux sommets des angles adjacents, est prise en compte (diminution de 50 %, de 30 % ou de 15 %), ainsi que les fractions de charges Q_e (20 %, 10 % ou 15 %), qui proviennent de ces derniers.

Les calculs sont effectués sur celui des angles, qui est le plus chargé.

Figure C.3 Transmission des charges aux sommets des angles adjacents

Les coefficients ω, de la Figure C.3, correspondent à la fraction de la charge équivalente Q_e au sommet de l'angle qui est transmise aux angles adjacents, uniquement dans le cas où les joints sont conjugués (dans le cas contraire, ω = 0).

C.3.2.2.4 Charge annulant le soulèvement au sommet d'un angle de dalle

Charge Q_s à l'angle annulant le soulèvement dû au retrait différentiel et au gradient de température :

où Q_ls est définie au C.3.2.3.4 et L_sb au C.3.2.3.

C.3.2.2.5 Déformation complémentaire en angle de dalle

Cette déformation, localisée, s'ajoute à celles générales déterminées dans le cas d'un dallage continu soumis à l'ensemble des charges.

Cas Q_e < Q_s

La flèche ascendante résiduelle au sommet de l'angle est évaluée à :

où w_sa est définie au C.3.2.2.1.
Cas Q_e > Q_s

Le tassement complémentaire peut être évalué sous l'action Q_e - Q_s :

où w_{0(Qe - Qs)} est le tassement calculé pour la charge Q_e - Q_s supposée appliquée sur le dallage continu (voir C.3.1).

NOTE

Les déformations, ci-avant évaluées, supposent que l'angle considéré soit en phase de soulèvement maximal sous l'effet notamment du retrait différentiel maximal.

Il ne peut être exclu que ce soulèvement soit très atténué (fluages sous chargements précoces, support poreux abaissant l'hygrométrie en sous face, élimination avec le temps puisque le retrait différentiel passe par un maximum puis s'annule lentement).

Il y a donc lieu, pour la vérification du respect des états-limites de déformation, de calculer aussi les déformations, en supposant Q_s = 0, puis de les cumuler avec celles générales.

C.3.2.3 Déformations complémentaires sur une bordure de dalle

Sont concernées, les charges situées sur une bande de dalle parallèle au joint correspondant à la largeur soulevée effective égale à (Figure C.4) :

Figure C.4 Déformations sur une bordure de dalle

C.3.2.3.1 Soulèvement sous l'effet du retrait différentiel et d'un gradient de température

Il a pour valeur, en l'absence de charge :

avec :

C.3.2.3.2 Charge équivalente Q_e en bordure de dalle non conjuguée

Il est admis que l'effet complémentaire, sur les déformations des charges disposées dans la zone de bordure, est équivalent à celui provoqué par la charge équivalente Q_e, disposée en bordure :

où :

L : voir Figure C.4 ;
i : indice de la charge Q_i considérée.

Le maximum de Q_e est obtenu par essais successifs, correspondant à diverses valeurs de L, notamment L = 0 au droit d'une charge.

C.3.2.3.3 Charge équivalente en bordure

Pour déterminer la charge équivalente Q_e, affectant une bordure conjuguée, la transmission d'une charge, en bordure à la bordure adjacente, est prise en compte (diminution de 50 % de la charge équivalente due aux charges sur une bordure : ω = 0,5). La transmission des charges, agissant en vis à vis sur la même longueur de bordure adjacente (voir Figure C.4), est prise en compte.

C.3.2.3.4 Charge annulant le soulèvement en bordure

Il est admis que la charge, annulant le soulèvement dû au retrait différentiel et au gradient de température, est :

avec :

où :

C.3.2.3.5 Déformation complémentaire en bordure

Cas Q_e < Q_s

La flèche ascendante résiduelle w_rb sur le bord est évaluée par :

où w_sb est définie au C.3.2.3.1.
Cas Q_e > Q_s

Le tassement complémentaire peut être évalué, sous l'action Q_e - Q_s, par :

où w_{0(Qe - Qs)} est le tassement calculé pour la charge Q_e - Q_s supposée appliquée sur le dallage continu (voir C.3.1).

NOTE

La note du C.3.2.2.5 (déformation complémentaire en angle de dalle) est applicable aux bordures.

C.4 Calcul des sollicitations

Les sollicitations à prendre en compte sont celles résultant des combinaisons d'actions susceptibles d'agir de façon simultanée, dans des situations durables ou transitoires. Ces combinaisons sont définies dans les règlements en vigueur.

Il est admis que les états-limites, sous divers systèmes de charges verticales, sont satisfaits, s'ils le sont indépendamment :

en partie courante, en supposant que le dallage est continu ;
à proximité des joints.

Les sollicitations dans les dallages en béton armé peuvent être évaluées avec ce présent C.4 sur la base d'une section brute, sans homogénéisation du béton.

C.4.1 Sollicitations d'un dallage en partie courante

C.4.1.1 Sollicitations dues au retrait empêché par frottement en partie courante

La contrainte, due au retrait linéaire, diminue du centre de la dalle en allant vers les zones de bordures et d'angles, où elle s'annule. Elle est considérée comme une charge permanente.

Lorsque les dispositions constructives permettent au dallage de glisser sur son support alors :

où :

μ : coefficient de frottement dallage/support, est pris égal à :
- 0,5, avec couche de glissement ;
- 1,5, dans le cas d'un support lisse et fermé, non adhérent au béton (par exemple, par interposition d'un film en polyéthylène conforme au 5.3.3), tendant vers l'infini, si le support adhère au béton ou comporte des rugosités empêchant tous glissements, la rupture par traction du béton étant alors certaine ;
L_j : distance entre joints autorisant les retraits (2 fois la distance, si une bordure est fixe) ;
p : poids du dallage par unité de surface ;
q₀ : charge moyenne d'exploitation répartie par unité de surface (voir 6.3.2) ;
φ : rapport entre charges extrêmes, durant une période d'exploitation de 3 mois (à défaut d'autre précision des DPM, φ =1/2 pour les dallages industriels).

NOTE 1

Lors de sa prise et de son durcissement, la résistance du béton croît progressivement, en même temps que le retrait augmente. Des micro-fissures, dites de prise, surviennent lorsque les contraintes dues au retrait sont supérieures à la résistance du béton frais en traction. Elles constituent par la suite, de véritables joints s'ouvrant au fur et à mesure du retrait.

NOTE 2

L'attention est attirée sur les risques de fissuration dans le cas de supports rigides et/ou adhérents susceptibles d'empêcher le glissement.

NOTE 3

Il y a donc lieu, notamment dans le cas des dallages en béton non armé, d'apporter la plus grande attention aux paramètres susceptibles d'atténuer le retrait du béton et de lui permettre de s'effectuer, afin de libérer les contraintes qu'il génère.

Cet article est à examiner à la lumière du 5.3.2, concernant les couches de glissement et 6.1, concernant les combinaisons d'actions.

C.4.1.2 Sollicitations dues au retrait différentiel en partie courante

Le retrait différentiel provoque des tractions en surface des dalles et des compressions en sous-face.

Il constitue, tout au moins pendant son existence et en partie courante, une précontrainte des dalles allant dans le sens de la sécurité, à ne pas prendre en compte dans les calculs.

C.4.1.3 Incidence des gradients de température en partie courante

En l'absence de déformation du plan moyen :

où Δt est l'écart de température entre les deux faces du dallage, en régime permanent.

Ces contraintes peuvent être négligées dans les dallages en béton armé, ou dans les dallages sous abri non soumis à des échanges d'énergie, autres que ceux avec l'air ambiant. Elles sont considérées comme charge d'exploitation.

C.4.1.4 Sollicitations sous charge concentrée isolée en partie courante

NOTE PRÉLIMINAIRE

Sauf dans les rares cas où les épaisseurs du dallage et du support déformable sont comparables, le comportement de ce dernier n'est pas assimilable à celui de ressorts juxtaposés. En effet, une charge sur une aire élémentaire de support provoque des tassements propagés sur des aires non chargées.

Les sollicitations conventionnelles ci-après, s'appuient sur les courbures du support, l'ensemble des charges étant supposé contraindre les dalles à épouser sa surface.

Une charge Q_i génère, en un point P situé à une distance x de celle-ci, exprimée avec D_eq comme unité, un moment radial M_r(x) et un moment tangentiel M_t(x), par unité de longueur, déterminés à l'aide du Tableau C.3.

Tableau C.3 Détermination des sollicitations suivant la distance D_eq

NOTE 1

Toutes les valeurs du Tableau C.3 correspondent aux sollicitations de traction (valeur positive : traction en face inférieure, valeur négative : traction en face supérieure).

La variation des moments tangentiels et radiaux est fonction de la distance x.

Ces moments déterminent des contraintes principales de flexion :

Moments radial et tangentiel : courbes M_r et M_t sous Q (Figure C.5).

Figure C.5 Courbes des moments M_r et M_t

NOTE 2

Les vecteurs « contrainte » sont perpendiculaires aux vecteurs « moment ».

C.4.1.5 Sollicitations sous charges concentrées multiples en partie courante

Les contraintes en un point P peuvent être composées selon la méthode suivante (Figure C.6) :

Figure C.6 Contraintes sous charges multiples

Ψ_i sur la Figure C.6, représente l'angle formé par une droite D_p, passant par un point P et par la ligne D_i, passant par le centre de gravité de la charge concentrée Q_i. Les contraintes au point P ont pour valeur :

(vecteur contrainte sur D_p, fissure éventuelle orthogonale à D_p)

(vecteur contrainte orthogonal à D_p, fissure éventuelle sur D_p)

où :

n : nombre de charges concernées, chacune d'indice i ;
σ_ri : contrainte radiale au point P, due à la charge Q_i et au moment tangentiel M_t(Qi) ;
σ_ti : contrainte tangentielle au point P, due à la charge Q_i et au moment radial M_r(Qi).

Les contraintes maximales au point P sont obtenues en faisant varier l'inclinaison de D_p.

C.4.1.6 Sollicitations sous charge répartie sur une bande de dallage

Le moment enveloppe, sous une charge uniforme q par unité de surface, appliquée sur une bande de dallage de largeur aléatoire, a pour valeur :

Ce moment de flexion et la contrainte qui en résulte doivent être considérés aussi bien pour la face inférieure, que pour la face supérieure du dallage.

Dans le cas d'un support homogène :

NOTE

L'attention est attirée sur la sévérité des sollicitations sous charge répartie et sur l'indépendance des contraintes vis-à-vis de l'épaisseur d'un dallage en béton non armé, dont l'augmentation ne saurait compenser la médiocrité du support.

C.4.1.7 Sollicitations sous charge linéaire q_lin en partie courante

Le moment enveloppe a pour valeur :

où q_lin est une charge par unité de longueur.

Le moment de flexion et la contrainte de flexion qui en résulte doivent être considérés pour la face inférieure du dallage.

Dans le cas d'un sol homogène :

C.4.2 Sollicitations liées à la présence des joints

Dans le cas de calepinage des joints, il faut prêter attention aux calculs des charges en bord et angle non conjugués.

C.4.2.1 Sollicitations dues au retrait linéaire

Le retrait linéaire n'a pas d'incidence sur les sollicitations le long des bordures et aux angles.

C.4.2.2 Incidences du retrait différentiel et des gradients de température

Le retrait différentiel et les gradients de température n'interviennent, dans le calcul des contraintes, qu'au travers des soulèvements qu'ils génèrent aux angles et le long des bordures, où ils provoquent des fonctionnements du type « porte-à-faux ».

C.4.2.3 Sollicitations sous charges concentrées en angle de dalle

Sont concernées, les charges situées à l'intérieur du secteur de cercle défini au C.3.2.2, les expressions suivantes étant définies aux C.3.2.1.6 et C.3.2.2 :

la valeur de ε_r", incluant les effets du retrait différentiel et du gradient de température ;
la longueur L_sa de soulèvement à l'angle ;
la charge équivalente Q_e au sommet de l'angle ;
la charge Q_s, annulant le soulèvement.

Cas général où Q_e ≤ Q_s et où l'angle reste soulevé

Moment unitaire :

Contrainte :
Cas où Q_e > Q_s et où le sommet de l'angle vient en contact avec le support

Chaque charge Q, indicée i, intervient pour sa valeur résiduelle Q_ci, qui majore le moment précédemment obtenu :

où, ω = 0,50.

Moment unitaire complémentaire :

avec :

où pour d_i, voir C.3.2.2.

Contrainte complémentaire :

avec :

C.4.2.4 Sollicitations sous charges concentrées en bordure de dalle

Sont concernées, les charges situées sur une bande de dalle parallèle au joint, correspondant à la largeur soulevée L_sb, définie au C 3.2.3, où sont aussi définies :

la charge équivalente au bord de joint, notée Q_e ;
la charge Q_s, annulant les soulèvements.

Cas général Q_e ≤ Q_s

Moment unitaire :

NOTE
Ce moment et la fissure qu'il tend à provoquer sont parallèles au joint.

Contrainte de calcul :
Cas Q_e > Q_s

Moment parallèle au joint, annulant le soulèvement :

Moment complémentaire, après annulation du soulèvement :

Contrainte (moment et fissure parallèle au joint) :

avec :

Dans les deux cas (Q_e < ou > Q_s), il est admis que le moment orthogonal au joint (fissure orthogonale au joint) a pour enveloppe 0,32 · Q_e, la contrainte étant 1,92 · Q_e/H².

C.5 Conjugaison des bordures de part et d'autre des joints

C.5.1 Effort vertical traversant un joint conjugué

Compte tenu des aléas inhérents aux implantations des charges et de l'importance pour la tenue du dallage de la bonne conjugaison des joints, l'effort vertical V, pris en compte par unité de longueur de joint, est, pour chaque zone de chargement définie dans les DPM, la plus élevée des charges équivalentes Q_e, transmises par un angle ou la bordure d'un panneau, aux panneaux adjacents, divisée par 6 · H.

C.5.2 Conjugaison par goujons

Les conditions suivantes doivent être remplies dans le cas de goujons cylindriques :

non adhérence des goujons à l'un au moins des deux panneaux adjacents ;
implantation dans la zone médiane de l'épaisseur du dallage ;
tolérance de déviation ≤ 5 %, par rapport à un axe orthogonal au plan du joint ;
diamètre de calcul : Φ ≥ 0,1 · H et un espacement de 3 unités au mètre et une longueur de 500 mm, avec un diamètre maximal de 18 mm.

NOTE

Ces dispositions ne sont pas applicables aux joints, dont l'ouverture peut être supérieure à 12 mm.

C.5.3 Conjugaison par tenons

Hauteur minimale h_t du tenon ou de chaque demi-mâchoire l'entourant : h_t ≥ 3 · V_u/f_ctk,0,05.

C.6 Coefficients d'influence

Les coefficients d'influence du tassement sont donnés par le Tableau C.4, en retenant :

Boussinesq massif homogène semi infini ;
coefficient de Poisson ν_s du sol pris égal à 0,35 ;
unités des x et z : diamètre de l'aire chargée D_eq.

Tableau C.4 Coefficient d'influence I_(x,z) pour un sol homogène élastique avec coefficient de Poisson ν_s = 0,35

Tableau C.4 (suite) Coefficient d'influence I_(x,z) pour un sol homogène élastique avec coefficient de Poisson ν_s = 0,35

C.7 Méthode simplifiée pour un dallage d'une épaisseur inférieure à 150 mm

C.7.1 Efforts subis par le dallage - épaisseur minimale

Un majorant du moment unitaire est obtenu par M = Q/2, Q étant la charge verticale isolée subie par le dallage en angle.

Il en résulte, que l'épaisseur minimale H du dallage est donnée par :

où σ_ELS est défini au 6.2.5.

NOTE

L'épaisseur nominale minimale du dallage est donnée dans le Tableau 1 du 5.5.1, en fonction de l'usage des locaux.

C.7.2 Sous charge concentrée unique Q

Le tassement évalué ci-après, est relatif à une seule charge concentrée. Dans le cas courant de plusieurs charges agissant simultanément, il y a lieu de cumuler, en chaque point du dallage, les tassements qui y sont propagés par l'ensemble des charges. Pour obtenir un majorant du tassement, il est pris, pour E_s, le module de Young de la couche la plus compressible.

C.7.2.1 Sous charge concentrée unique Q en partie courante

Un majorant du tassement est donné par l'expression :

C.7.2.2 Sous charge concentrée en bordure

Un majorant du tassement vaut 3,5 fois celui déterminé en partie courante.

C.7.2.3 Sous charge concentrée en angle

Un majorant du tassement vaut 7 fois celui déterminé en partie courante.

C.7.3 Sous charge uniforme

Un majorant du tassement peut être donné par :

où D est la plus grande dimension du rectangle enveloppe du dallage.

C.7.4 Déformations dues à la présence des joints

Les effets conjugués du retrait différentiel et d'un gradient thermique provoquent des soulèvements le long des bordures et aux angles de panneaux :

En angle, le soulèvement vaut :

où ε_r" = ε_r' (retrait hydraulique total) ± 1,1 · Δt · 10^-5.

En bordure, le soulèvement vaut :

où :

E_cv : module de déformation du béton sous sollicitation de longue durée (module différé) ;
γ : poids volumique du matériau constituant le dallage ;
ε_r : retrait total du béton (4 · 10^-4 dans les conditions courantes) ;
ε_r', ε_r" : retrait affecté des incidences des chapes et du gradient thermique.

C.7.5 État-limite de déformations

Les déformations déterminées (cumul des tassements d'une part, soulèvements d'autre part) doivent rester dans les limites définies en 6.2.1 et 6.2.2.